永远不要拿规律当作推理的依据，这是数学中一个非常危险的错误！大多数时候，寻找规律都是有帮助的；但就有这么一些极端的例子，能成立很久的规律竟然是错误的。该证明的还是要老老实实证明，投机取巧总会有倒霉的时候。

貌似整数的数
你知道吗：
哇，小数点后三位都是 9 ，该不会整个数正好就是 20 吧？其实不然：
 这还不牛。我们有更像整数的数： 直到小数点后第 6 位才出现第一个不是 9 的数。
而 小数点后面有连续 9 个 9！

质数生成公式？
1772 年，大数学家欧拉（Euler）发现，当 n 是较小的正整数时，代入 n 2 + n + 41 得到的总是质数。事实上，n 从 1 一直取到 39，算出来的结果分别是：
43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,
313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,
911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601
这些数全都是质数。第一次例外发生在 n = 40 的时候，此时 40 2 + 40 + 41 = 402 + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 × 41。一直要算到 n = 40 ，才能破除这个“伪规律”。

这也太巧了吧
定义数列 s(1) = 8，s(2) = 55，并且 s(n) 等于最小的使得 s(n)/s(n-1) > s(n-1)/s(n-2) 的数。这个数列的头几个数是：
8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081,
279942687, 1929384798, 13297456486, 91647010581, …
这个数列似乎符合一个简单的四阶递推方程：s(n) = 6·s(n-1) + 7·s(n-2) – 5·s(n-3) – 6·s(n-4)。事实上，数列的前 11056 项一直与这个递推方程相吻合。到了第 11057 项（此时数列里的数已经有上千位了），才第一次出现例外。

千万不要妄下结论
圆周上有 n 个点，两两之间连线后，最多可以把整个圆分成多少块？

上图显示的就是 n 分别为 2、3、4 的情况。可以看到，圆分别被划分成了 2 块、4 块、8 块。规律似乎非常明显：圆周上每多一个点，划分出来的区域数就会翻一倍。
事实上真的是这样吗？让我们看看当 n = 5 时的情况：

果然不出所料，整个圆被分成了 16 块，区域数依旧满足 2 n-1 的规律。此时，多数人都会觉得证据已经充分，不必继续往下验证了。偏偏就在 n = 6 时，意外出现了：

此时区域数只有 31 个，推翻了我们之前的猜想。根据规律妄下结论，终究是会翻船的。

最坚挺的猜想
下面是大于 1 的正整数分解质因数后的结果：
2 = 2
3 = 3
4 = 2 × 2
5 = 5
6 = 2 × 3
7 = 7
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
…
其中，4、6、9、10 包含偶数个质因子，其余的数都包含奇数个质因子。你会发现，在上面的列表中一行一行地看下来，不管看到什么位置，包含奇数个质因子的数都要多一些。1919 年，匈牙利数学家波利亚（George Pólya）猜想，质因子个数为奇数的情况不会少于 50% 。也就是说，对于任意一个大于 1 的自然数 N，从 2 到 N 的数中有奇数个质因子的数不少于有偶数个质因子的数。这便是著名的波利亚猜想。
波利亚猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数，必然都已经提前经历过了“有奇数个质因子”这一步。不过，这个猜想却一直未能得到一个严格的数学证明。到了 1958 年，英国数学家哈赛格庐乌（C. B. Haselgrove）发现，波利亚的猜想竟然是错误的。他证明了波利亚猜想存在反例，从而推翻了这个猜想。不过，哈赛格庐乌仅仅是证明了反例的存在性，并没有算出这个反例的具体值。哈赛格庐乌估计，这个反例至少也是一个 361 位数。
1960 年，谢尔曼·莱曼（R. Sherman Lehman）给出了一个确凿的反例：N = 906 180 359。而波利亚猜想的最小反例则是到了 1980 年才发现的：N = 906 150 257。也就是说，从 2 一直数到 9 亿多，波利亚猜想看起来都是成立的！