连云港市2013高中教学视导与高中数学教学研究活动简报

连云港市2013高中教学视导与高中数学教学研究活动简报

―提高高中数学教学设计能力是当务之急

近期相继视导赣榆县四所四星级高中（赣榆高级中学、海头高级中学、赣榆县第一中学、赣榆县城头高中），由于是一天视导，故每校平均听课只有4－5节。10月15日又在东海县石榴高级中学举行“百位名师百乡行”活动，共上课6节名师示范课。10月22日参加连云港市外国语学校举行的“名校名师引领示范工程”活动，活动邀请海头高中三位教师上3节观摩课，外国语学校1节观摩课。课堂教学分布三个年级，上课教师其主要想法、做法就是体现建构式生态课堂教学思想，力主让学生活动充分。

从课堂教学来看，各位上课教师对建构式生态课堂教学思想理解到位，特别是学生活动一块，做的非常好，课堂能让学生充分展示对问题的解法与想法，有说，有讲，有讨论，有板演，有讲解，学生讲解的精彩甚至盖过教师的讲解，整体教师一讲到底的现象基本消失。课堂教学总的形式主要是前一天晚上发给学生学习案，学生看书解答学案内容，第二天上课，课堂上学生上黑板书写（照抄学案），然后书写的学生再上黑板将书写再讲一遍，随后老师再简单点评，有话则长，无话则短，一题接一题，一题重复一题，直至下课。现在的形式比较固定。

课堂反映的问题是：

1．学生的学代替教师的教

学习是学生的学习这是我们一直强调的，教学要突出学生的主体地位，课堂学生是学习的主人，这也是我们反复讲的，也是符合时代潮流，也是尊重人的发展必须的，也是落实以人的发展为本的集中体现。但所有这些并不能否认教师的存在价值，学生的学并不能代替教师的教。高效课堂离不开教师高效指导，高效学习离水教师高效的教。现在最严重的问题是学生回答了学案上的内容就代表学生会了，老师的教学内容一教学生就理应会了，如果是这样教学就简单了。学生是如何会的？看书会的，看参考资料会的，问其他同学会的，抄教材概念内容会的，但这些代表学生理解了吗？真的会了吗？不客气说，这些可能与会一点关系都没有，因为考试成绩可以说明一切，“懂而不会”。在部分学校听课听了5节课没有发现一点内容学生不会的，所学内容各个年级学生全会，没有一点错误，这是真实的数学学习吗？作为教师的你相信吗？反正我是不信的，考试成绩在那儿摆着，确实让你无法相信。同时按学生课堂的反映学生根本不用教师教，都能上清华，事实又如何？问题出在哪儿？主要的问题是学生上课“表演”学案，课堂成为学生“表演剧”。学生学习要分为课前自主学习（或预习）、课堂与教师交流理解、课后反思巩固练习，这是符合学生学习认知规律的，每一个阶段有每阶段任务，侧重不同，决不可让三个阶段任务变成一个阶段任务。教学需要重复，但教学决不能止于重复，教学需要创造。

对于新授课学案内容设置的问题是帮助学生理解概念的，既然是理解就应从不同的角度、不同侧面去理解，从不同的系统去理解，从不同的结构中去理解，将概念、公式、定理、性质等放到数学的整体中去理解，把概念的“前生今世”、“前因后果”通过问题给予展示出来，帮助学生理解。教师设置问题深化学生的理解，启发学生理解，通过问题发现学生的不理解。作为数学做题也是在理解，但做题更多的应是课堂与课后的理解，而不是课前任务。当然学生愿意多学，有能力多那是另外一回事。现在的学案基本上还是练习案，且让学生完成内容太多，连课后作业都让学生课前完成，严重违背学生认知规律，违背学习规律。现在有的学校取得一定的效果，那是不停练习的结果，决不是教学效益提升的结果。

课堂教学除了重复一定要有新的内容，重复也要讲究方式，而且大部分时间都应是解决新的内容，解决新的内容才能培养能力，静态的知识不能产生能力，使用知识才能形成能力。高三的课堂因为学生课前练习量比较大可能重复多一点是正常的，但也必须有变式跟进，有联系对比，有细节的挖掘，有拓展延伸，有思想方法的总结，且留有一定时间解决新的例题，当堂解决才与考试是吻合的，练习不能全放在课外。

2．学案练习代替教学设计

目前学案上的问题不系统，基本上是概念重复加解题。学案是学生学习的辅助教材，辅助工具，它不能代替教师教案，学案不是教案，学案只是教师教学的参考，了解学情的工具。学生的学案可以做各种内容的题型，因为还有各种能力要培养，如计算能力、审题能力、阅读能力等。但教师教学不能照搬。教师课堂教学要对教材、学案、资料等进行重新加工、整理、整合，设计出符合课堂教学的、与学生认知吻合的教学设计，将课堂教学演绎得更精彩。现在有的老师没有学案就不会上课了，丧失了教师赖以生存的教学设计能力，这是很可怕的。课堂教学是有系统的（包括知识系统、认知系统）、有层次的、有主线的，有规律的，内容讲授可以并列关系，更多的应递进关系，“形不散，神更不散”。

案例1  学生提前做了解不等式的学案，学案上有练习，有例题，从解不等式到恒成立问题。但教师课堂教学能否这样设计并进行教学呢？从解不等式开始。

例1    解不等式。

变式1  解不等式。

变式2  求函数的定义域。

变式3  求函数的定义域。

变式4  解关于不等式。

变式5  解关于不等式。

变式6  解关于不等式。

变式7  关于不等式恒成立，求的取值范围。

变式8  当时，关于不等式恒成立，求的取值范围。

这样处理，要讲的重点内容都讲了，学案上的题型都讲了，且呈现给学生的又都是新东西，学生有新鲜感，课堂不是简单重复。解分式不等式体现转化思想，定义域的出现实质是在应用不等式，且对数与根式两种要求不同，字母的出现引入分类讨论，字母的位置不同讨论的方法不同，意义不同，不等式恒成立出现，不对问题的深化，由数到形，由不等式到函数，学生的思维层次不同，随着变式的增多，学生的思维层次是逐渐递进的。这样的设计，教师课堂一支笔足以，教师的教学能力也得以显现。

案例2  学生学习线性区域，能否这样设计？

（1）请同学们在直角坐标系中画出直线，并说明1表示什么？

（2）请同学们在直角坐标系中画出直线，并说明表示什么？

（3）请同学们在直角坐标系中画出直线，并说明表示什么？说说你的理解，并与同学交流自己的理解。

（4）你能总结出记忆不等式所示的区域的方法吗？与同学交流下看有何不同？

（5）图中的区域你能用不等式表示出来吗？

（6）说说不等式组所表示的区域是什么意思？

（7）请同位画一个区域，让同桌写对应的不等式。

这样的设计体现从特殊到一般思想，从最简单的表示出发，学习过程有尝试、体验、发现、调整、归纳、概括、提炼、升华等一系列思维过程，学习方式有学生不会的教师讲解，有同学之间发现后的对比交流，有不同方法的争论，有学生自主学习的感悟。

案例3  线性规划问题，教师主要是给个不等式组提表示的线性区域，接着接提出求的取值范围，告诉学生几何意义，怎么去求解，然后求平方关系，求斜率关系，等等。学生确实理解，讲过听懂后的理解，与发现解决问题后的明白不是一个层次，对能力的培养有较大的差别。

师：请同学们思考下面的问题如何解决？

已知满足求的取值范围。

生1：（两分钟后）由已知条件可求得，所以的取值范围是。

很多同学赞同。教师没有表态。

师：还有其它的处理方法吗？

生2：老师我是这样做的，但与生1的结果不一样。

师：请把你的解法给同学们展示一下。

生2：设，则，所以，

又因为，所以的取值范围是。

师：两种方法的结果不一样，请大家独立思考后，有想法再与同学交流。

生3：老师我觉得解法1有问题，如取到最大值4时要求，，而这是不可能的。

师：很好！请大家画出不等式组所表示的平面区域。四条直线的交点分别标为A，B，C，D，（如图）

师：请大家判断点是否区域ABCD内。

生：不在区域内。

师：所以的最大值不是4，为什么解法2是正确的呢？

能同时取到吗？

生4：可以同时取到，因为关系是独立的，而关系并不独立。

师：分析得很好，其他同学赞同吗？

师：既然不能同时取到最大值，是不是的最大值随（）的增大而增大呢？请大家结合图形思考。

生5：不一定，如D（）代入得，而A（）代入得，所以不能判断 的最大值随（）的增大而增大。

师：很好！取特殊点验证，即可否定。到底如何求的取值范围呢？我们先将问题放一放，请同学们思考，你会求的取值范围吗？

生6：如果设，将方程看成圆，显然当时，＝0，当圆过区域最远边界时，的值最大，即过直线与直线交点时取最大值。

师：很好！从几何意义上寻求解题途径。还有其它考虑方法吗？

生7：也可以看成区域内任意一点到原点O距离的平方。

师：很好！还是从几何意义上突破。

师：你能求得的取值范围吗？

生8：可以，将理解成区域内任意一点与点连结的斜率，根据区域图形，结合计算发现，当取点时，取最大值1，当取点时，取最小值0。

师：分析得很有道理！仍然是借助所求代数式的几何意义解决。回头看原题求取范围如何求呢？

生（众）：寻求式子的几何意义。

师：几何意义是什么？怎样理解？

生9：设，则有，的几何意义表示直线的纵截距。

师：漂亮！我们仍从几何意义出发，寻得的几何意义。请同学们画图，看看在何处取得最大值，何处取得最小值？

生9：画出直线，然后进行平行移动，发现过点时，取最小值3，过点，取最小值。

师：非常好！这样我们顺利求得的取值范围。你能求得的取值范围吗？

生10：同样设，画出直线，发现还是过点时，取最大值，过点，取最小值。

生11：不对，情况变了，过点时，取最大值5，即取最大值10；当过点时，取最小值，即取最小值。

师：其他同学认可吗？为什么取最值的点发生变化了呢？什么原因引起的？解题中要注意什么问题？生10为什么出错？

生10：随手画图，没有注意到斜率的变化造成的。解题中要注意所画直线的斜率与已知区域边界直线的斜率关系，否则容易出错。

……

教育讲究渗透，一切尽在设计中。

3.教学解题代替能力培养

教学在教学生学习知识的同时要时刻记得培养能力比学习知识更重要，高考讲究以能力立意，教学不以能力立意学生如何应对高考，何况学生今后的生活要知识，更要能力，没有知识可以学，但没有能力在培养恐怕就来不及了。

教学要研究对这生的能力培养，每一块知识的产生能培养学生哪些能力，能力的培养重点以课标提出的基本能力为出发点。大到整体模块培养学生什么能力，小到一个单元，再到一节课对学生能力的培养都要深入挖掘，成为教学的出发点。数学教学重要的是培养学生思维能力，这也是数学学科有别与其它学科的主要地方，培养不是告诉，而是渗透，自我感悟，自我升华。上面的几个课例都是从培养学生能力出发设计的课例。有人说三流教师教知识，二流教师教方法，一流教师教素养。愿我们深入研究数学的育人价值，从培养学生素养的角度进行我们的教学。

附：新海高级中学李静老师2013年评优课课例。

对数课例

1  设置问题、产生矛盾：

师：很高兴来到美丽的江苏省辅仁高级中学．曾子曰：“君子以文会友，以友辅仁．”希望通过这节课的交流学习，我们可以成为朋友，共同提升数学素养．下面就让我们从一个实际问题开始：

问题一（投影、动画演示）光在某种介质中传播，每经过1cm，其强度减弱为原来的一半，假设最初的强度是1。

师：问题（1）：经过2 cm后，强度是多少啊？

众：．

师：问题（2）：经过x cm后，强度y等于多少呢？

众：．

师：这是我们上一节学过的指数函数．请看问题（3）：经过多少厘米，强度为0.125呢？

生1：，．

师：她列的方程对吗？

众：对．

师：她刚才提到了一个符号，说明她的预习得很好！那么这个解究竟是多少，你能不能用我们学过的数字表达出来？

生1：3．

师：非常好！再看问题（4）经过多少厘米，强度为呢？能不能列出对应方程？

生2：．

师：很好！我们只要研究的解．

问题二（投影）方程的解存在吗？是多少？

师：请大家先判断一下，这个解存在吗？为什么？时间交给大家，和同学们讨论一下．（讨论一分钟后提问）

生2：可以算出它的值域是（0，+∞）．

师：谁的值域？

生2：．

师：因此有解了吗？

生2：因为在这个区间里，所以存在．

师：这位同学从函数值域的角度解释了存在．其他同学呢？

生3：存在．

师：直觉告诉你存在，依据呢？

生3：（无语以对）

师：请坐，再思考一下．上一位同学提醒我们可以从函数值域的角度考虑，我们研究函数的一个重要手段是图象，看看图，为什么存在呢？（投影函数图象）

 

 

 

 

 

 

 

生4：因为函数值在它的图象上能够找到一个点．

师：是的．数形结合，其实我们就是要找到底数为时，所对应的x的值，的确存在．尽管有些同学没有立刻给出理由，但是大家都判断有解，那这个解是多少？你会表示吗？用我们学过的运算能求出来吗？（思考）

众：求不出．

师：哦，我们遇到了一个困境：明知有解，却苦于无法表示？这样的困境以往也遇到过吗？

2  追溯历史、推出定义：

师：让我们共同追溯数字运算的学习历程，看看能不能从中得到一些启示．这是我们小学课本上的问题：

分数问题：（投影）“4个苹果平均分成2份，每人分得2个；2瓶矿泉水平均分成2份，每人分得1瓶；”

师：这些结果都能用自然数表示，再看“1个蛋糕平均分成2份，每人分得半个，”半个能不能用自然数表示？

众：不能．

师：怎么办？

众：用分数．

师：是的．我们引入一个新的符号——分号，得到一个新形式的数——分数．从而解决了这个难题．大家想一想，初中遇到过类似的状况吗？

生5：有，根号．

师：她想到了根号，源于我们探究平方根的问题．

平方根问题：（投影）方程的解为有理数2和-2，而方程的解能不能用有理数表示呢？

众：不能．

师：怎么办？

众：根号．

师：是的，创造了刚才那位同学说的符号——根号，得到一个新形式的数，也解决了这个难题．

师：请大家总结一下，在这两个问题中，我们突破运算困境的途径是什么呢？

众：创造新符号．

师：这节课还是要解决这个问题“方程的解是多少?”，你有办法了吗？

生6：用“log”符号来表示．

师：你跟我们的大数学家纳皮尔想的一样，要创造一个新的符号，引进一个新形式的数．引进一个什么形式的数呢？大家想想，这里的指数x与什么数有关系呢？

众：（沉默）

师：如果老师将方程改为，这里的x会不会改变啊？

众：会．

师：这说明x与谁有关？

众：与有关系．

师：是的，与幂有关系．还与谁有关？

众：底数．

师：对，也与底数有关系．这个指数是由和确定的．因此我们要创造一个用和表示的数！早在400年前，数学家纳皮尔就为我们创造好了这样的符号，同学们想不想欣赏一下这块数学瑰宝呢？

众：想．

建构1 对数运算（投影）  如果x满足，记x=，

师：其实x就是刚才同学提到的底数为时，与幂相对应的数，简称对数．（投影并板书课题）也就是本节课要研究的内容．

师：大家看看是不是用和表示的呀？

众：是的．

师：对于这个新形式的数，你有什么认识？它究竟表示什么？时间再次交给大家，和同学们讨论一下，畅所欲言．（讨论一分钟后提问）

师：大家声音渐止了，把你对于这个数的认识跟我们分享一下．

生7：表示的是底数为时，与幂相应的数．

师：很好．这是一个数．

生8：如果把这看成函数关系，那么就是说可以用和因变量表示自变量．

师：他觉得可以用其中另外两个数表示x，站在函数的角度解读了一下．其他同学呢？你们能估计出这个数在哪两个整数之间吗？

众：2到3之间．

师：大家认识到：是一个数，一个介于2和3之间的数，一个在底数为时，与幂相对应的数．其实，还可以表示一种运算，由底数和幂求指数的运算——对数运算．

师：你能由此说出等于多少吗？

生9：．因为，而x就等于．

师：很好．她从代数关系上给出了答案．有没有哪位同学从图形的角度也能得到答案呢？

生11：当函数的x等于时，所对应的值就是．

师：哦！原来是这样．至此，我们可以回答开头的问题，经过cm，强度是．我们用科学计算器可以算出这个数约等于2.58cm．

师：这个指数方程的解你会表示了，其它的指数方程呢？？

众：．

师：对于任意的指数式，你也会表示出这里的指数吗？

众：．

师：这也难不倒大家，让我们看完整的定义！（投影并板书）

建构2  对数概念

对数的概念：一般地，如果的次幂等于N，即，那么就称是以为底N的对数，记作，其中，叫做对数的底数，N叫做真数．

 

 

 

 

 

 

师：对于这个新符号，请大家注意它的规范读法，按照定义读：“以为底N的对数”．同时也要注意规范书写，尤其注意将底数写在第三格也就是下标的位置．

师：我们注意到定义中有两个式子，其中叫做指数式，是不是也应该给起个名字啊？！

众：对数式．

师：其实，指数式与对数式反映的是，，N这三个量之间的同一个关系，只是形式不同．在底数一定的情况下，指数运算是由b求N，对数运算是由N求b，可见，指对数运算是一对逆运算！

探究1  字母名称（投影）

师：你能说出，，N在两式中的名称吗？一起说说看．

众：（见上图）．

师：原来指、对数运算的关系就如同加减、乘除运算一样，当数字的位置发生了变化，其含义和名称也发生了一些变化，当然底数的名称是未变的．

探究2  底数和真数的范围

师：名称不尽相同，范围却是完全相同的．在指数式中我们如何规定底数范围的？

生12：a>0且a≠1．

师：没错，我们也清楚指数式中N > 0，因此，对数式中我们也要求a>0且a≠1，N > 0．也就是说，“真数”一定是“正数”（投影），负数与零没有对数．

3  应用定义、深化理解：

师：大家共同努力，给出对数的定义，并且明确了指、对数的关系，了解了a，b，N的范围．同学们，你们掌握得怎么样呢？我们改写两个试试看！你能将82=64化为对数式吗？我们试着一起说说看．

众：．

师：回过来，将改写为指数式．

众：32=9．

师：在两式的互化中，底数始终是未变的，因此，只要认清底数，就可以顺利实现互化了．下面老师考考大家，你能不能快速完成这些式子的改写呢？（学生板书）其他同学写完的可以和同桌交流一下，互相检查，互相出题考考对方．

考考你（投影）将下列指数式改写成对数式：

⑴24=16；   ⑵；   ⑶；   ⑷e0=1．

生13（板书）：⑴; ⑵;

生14（板书）：⑶;⑷．

师：大家检查好了吗？（好了）好，我们一起来检查黑板上两位同学的答案．第一位同学改写的如何？老师看到有的同学已经点头肯定了，有没有同学认为自己写的比她写的更规范？

生15：底数2应该在往下面移一点点．

师：恩，底数再往下面写一点就更漂亮了．为什么不能写到上面？（挡住对数符号）是不是容易产生误解啊！（是的）再看第二位同学的书写，对吗？找找毛病．（沉默）第（3）题中有一个符号用的欠妥．

众：等号．

师：哪个等号？

众：第二个．

师：这里能不能相等呢？（不能）你的意思是什么呢？解铃还须系铃人，你想表达什么意思呢？

生14：这个式子可以化成这个形式．

师：老师帮你改进一下（板书：=改为）也可以写由可得．

对于（3）、（4）两题中的底数，我们今后会经常在计算中遇到．（板书）

常用对数：由于我们通常所用的数字是以10为基数的，因此以10为底的对数称为常用对数，数学讲求简洁美，我们给它一个特殊的符号，将对数简记为．

师：再看第四题，出现了一个小写字母e，它和我们初中遇到过的π一样，都是用来表示一个无理数的（板书e=2.71828…）

自然对数：在自然科学中经常会用到e，因此，以e为底的对数称为自然对数，我们同样给它一个特殊的符号，将对数简记为．（3）（4）中的对数式还能怎么写呢？(、)

师：由指数式能改成对数式，逆回来，对数式能改写成指数式，你会吗？

你会吗？（投影）将下列对数式改写成指数式：

⑴；   ⑵；   ⑶；   （4）．

师：我们这次加大难度，能不能口答？（提问）

生16：⑴．

生17：⑵．

生18：⑶．

师：我没看到10啊！

生18：就是常用对数．

师：没错，底数隐藏起来，我们改写时要将它还原出来．继续…

生19：（4）eb=12．

师：我们12班的同学反应的非常快，口答完成了这些式子的改写．掌握得不错！

师：大家有没有注意到在中，老师相当于把对数运算结果告诉你了，如果不给出结果，要你求值，你还会吗？

你还会吗？（投影）求下列各式的值：

（1）；     （2）．

生20：第一题等于4．

师：怎么得到的？

生20：因为化成原来的形式就是．

师：x？x哪来的？

生20：假设这个值等于x，化成，也就是，x=4．也就是=4．

师：非常棒！他还注意下了结论．在他写的过程中，由“”得到“x=4”的依据是什么呢？

生21：指数函数的单调性．

师：好，这位同学帮我们找到了依据．第一小题，我们通过假设x，用方程的思想解了出来，再看第二小题．大家能不能一起试着说说？大家说老师写．

众：设，，即，得，因此，，所以．

4  归纳类比、提升能力：

师：老师真的很羡慕辅仁高中有大家这样优秀的孩子！把过程说的很完整．我看到很多同学跃跃欲试，那就让我们趁热打铁，再给大家几个值，动动手，试试看！

探究3  四个重要等式

趁热打铁：（投影）求值：（两名同学板书，老师巡视其他同学书写）

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

师：写完的同学可以交流下一你的解题经验．（讨论）

师：不知道大家交流得怎么样．我们一起看看黑板上的过程．（逐一检查）

师：通过计算我们可以反思，是不是每一个对数式都需要化为指数式求解呢？我们注意到，第一小题这位同学没有写出过程，那么你是怎样没写出过程就看出结果的？

生22：是根据定义换算的．

师：怎么换算？

生22：心里想到指数式．

师：实际上，通过定义中的指数式可以看出，的含义也就是“求N是a的多少次方”．那么，大家看就是求什么呢？

众：求100是10的多少次方．

师：所以等于2．对于简单的对数求值，解读符号的含义就可以直接得到答案．比如第（6）小题，可以怎么考虑？

众：是3的多少次方．

师：有些形式可能直接看出答案有些困难，比如第二小题．而有些形式比如我们刚才求出的，它本身就表示一个数，只是不能像这些题一样，用我们以往学过的数表示出来．我们再来回顾一下求值过程．第三小题中，由可以想到，它所对应的对数式是什么呢？

生23：．（板书）

师：也就是说“1的对数等于0”．接着回顾第四小题，由可以想到，它所对应的对数式是什么呢？

众：．（板书）

师：也就是说“底数的对数等于1”． 再看（5）（6），老师改写成这样的结构行吗？（板书：，）你有什么发现？

生24：．（板书）

师：请坐．他猜想，同学们，大胆猜想还要小心求证啊．这位同学猜的等式成立吗？为什么？

生25：可以转化成指数式，就是，所以是成立的．

师：很好．他是用定义转化的，两式等价，指数式成立所以对数式也成立．有没有其它办法？其实我们这节课所求的很多问题都是从定义出发的，那就让我们重新观察一下定义中的两个式子．你能由定义中的两式直接导出吗？（引导观察字母变化）哪个字母没有出现在结论中？

众：N．

师：哪里去了？

众：代入．

师：真是众里寻它千百度，原来它在定义中啊！原来只要将指数式代入对数式，消去N就可以得到结论了．如果尝试将对数式代入到指数式，又能得到怎样的等式呢？

众：．（板书）

师：大家是否见过类似结构的式子？（）

师：这个等式我们称为对数恒等式．这四个等式将会简化我们求对数值的过程，今后我们未必需要通过转化为指数式求值了．对于后两个等式在运用时一定要注意整理成“同底”的结构，希望大家能通过具体运算记住它们．

5  回顾反思，完善认知：

师：这节课我们认识了一种新形式的数——对数，对数让我们称为了朋友，亲爱的朋友们，你们都掌握了哪些关于对数的知识呢？

众：对数、常用对数、自然对数、互化、重要等式…

师：看来大家都有所获！这节课同学们很好地展示了自己的风采！不愧为钱钟书先生的校友！老师也诗兴大发，赋诗一首，送给大家：（投影）

“心生疑惑求解难，追溯历史引概念；互化求值导公式，一切尽在定义间！”

6  课后巩固，矫正反馈：

1、课本P79习题3.2(1)1，2，3(1)～(4)．

2、阅读79页的材料，了解对数的发展史．

3、预习下一节《对数的运算性质》．