高中课程标准实验教科书必修《数学2》（苏教版）教学问答

苏州大学数学科学学院　徐稼红

问：如何解决数学必修2内容过多、课时不足的问题？

答：数学必修2包括第1章“立体几何初步” 和第2章“平面解析几何初步”．从实际教学情况来看，教师普遍认为第1章内容多、课时紧，教和学都比较吃力．

根据《普通高中数学课程标准（实验）》，第1章约需18课时，而传统的“直线、平面、简单几何体”需36课时，因此，仍按原来的模式教学是行不通的，也不符合课标的要求．教学时要注意下面的问题：

（1）只需了解“角”（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角）与“距离”（点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离）的概念，但对计算不作要求．

由于文科学生不学“空间向量与立体几何” （选修2-1第3章），因此必修2“立体几何初步”的学习重点应放在定性研究上，增加或补充“角”与“距离”的计算是不妥的．

（2）判定定理只要通过直观感知、操作确认后归纳得出（可借助长方体模型），不必证明（在“空间向量与立体几何”中予以证明）．

（3）与以往教材不同，新教材增强了选择性和层次性，平时教学应着力于核心内容的讲解，不必面面俱到．例如，教材中穿插的“阅读”、“链接”、“EXCEL”等栏目就是非必学内容．习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”属于选做题目，切忌一网打尽．

为解决第1章的教学困难，建议采取以下措施：

（1）顺序调整：必修2两章的内容相对独立，第2章的学习要容易一些，内容又相对较少，实际教学时，可以先教第2章，再学第1章．这样安排，由于降低了学习的起点，可以缓解学生的学习压力．

（2）课时调整：第2章安排16课时，第1章增加到20课时（在“直线与平面的位置关系”后增加习题课，在本章末增加小结复习课时），按此方案调整课时，有利于第1章的教与学．

（3）分段安排．上面两种调整只是缓解了必修2的教学压力，实际上并没有真正解决教学负担重的问题．如果将“解析几何初步”与“立体几何初步”分别放在高一和高二讲授，那么这个问题就容易解决：高一第一学期安排必修1及必修2的解析几何初步，第二学期安排必修3与必修4，高二第一学期处理必修5及必修2的立体几何初步．这样安排至少有三个好处：

① 必修1的课时可以适当增加，进度可以适当放慢，有利于刚进入高中的学生较好地适应高中数学的学习；

② 有利于学生学好立体几何．从教学实践及相关的研究来看，立体几何更适合于高二阶段学习．其次，由于课时更具弹性，教学就比较主动．

③ 注意到文科生学习的数学内容相对较少，因此，上述安排（延长适应阶段时间，分散学习难点）更有利于文科生学好数学．

问：“立体几何初步”安排“空间几何体”一节内容的意图是什么？

答：以往立体几何的处理方式是从局部到整体（点、线、面→柱、锥、台），而新教材处理方式则是从整体到局部（柱、锥、台→点、线、面→度量计算），强调通过“直观感知→操作确认→思辨论证→度量计算”的方法认识和探索几何图形及其性质，符合学习几何的认知规律．设置空间几何体一节还有如下意图：

（1）降低学习起点，为后续学习做好铺垫．本节实际上也可称为直观立体几何，要素有：观察（空间几何体）、认识（结构特征）、理解（三视图）、会画（直观图）．同时，为下一节的学习（逻辑推理）提供载体（长方体等模型），丰富问题背景．

（2）实现从动和静两个方面认识几何体．除圆柱、圆锥、圆台、球仍采用运动的观点（旋转）来揭示其特征外，棱柱、棱锥和棱台也采用了运动的观点（平移、收缩）来描述，这种刻画的优点是形象直观，具有统一性，还便于制作多媒体课件进行演示，有利于提高学生的学习兴趣和空间想象能力．

问：三视图的学习要求与初中阶段有何不同？

答：初中阶段学习三视图以定性为主，会判断（找出与三视图对应的直观图），高中阶段三视图还有定量的要求．例如，学生应理解主视图、俯视图、左视图之间“长对正，高平齐，宽相等”的含义．通过画几何体的三视图，可以进一步加深对几何体结构的认识．

教学时要控制难度，仅限于长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合（如画三棱锥的三视图，就超出了要求）．另外，让学生画三视图时，一般要给出正视的方向．

问：如何把握判定定理、性质定理的不同处理方式？

答：新教材对判定定理不要求证明有多种用意：

（1）合情推理与逻辑推理的有机结合．合情推理（归纳、类比等）具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．合情推理和演绎推理联系紧密、相辅相成．事实上，“数学家创造性的工作是论证推理，即证明．但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的”（波利亚）．

教材（课标）对判定定理和性质定理的不同要求，为教师提供了培养学生合情推理能力的极好素材．教学中对判定理和性质定理一视同仁，一一加以证明，有悖课标的初衷，不仅增加了教学负担，也错失了培养学生合情推理能力的机会．

合情推理与逻辑推理的有机结合，可以避免以往几何课程中以论证几何为主线展开几何内容造成的过于形式化，以及由此给学生带来的困难，有利于学生在自然的探索过程中学习数学的思考方式．

（2）规避教学难点．线面垂直判定定理的证明是以往教材中的一个教学难点，新教材通过直观感知和操作确认，再归纳得到线面垂直的判定定理，这种处理方式，使教学过程更加流畅，学生更容易接受．

当然，合情推理不能代替证明．可以告诉学生，在后续的学习中，我们不难运用向量工具完成判定定理的证明．

问：立体几何初步为何不讲三垂线定理？

答：新教材不讲三垂线定理，三垂线定理仅以结论的形式出现在习题中（但未提“三垂线定理”），这样处理的理由是：

（1）三垂线定理在作出二面角的平面角时比较方便，但必修2“立体几何初步”的重点在定性研究，定量处理在选修2-1“空间向量与立体几何”中完成．利用空间向量，就不必通过作出二面角的平面角来求二面角的大小，只要计算两个平面法向量的夹角（或其补角），即用向量的数量积来处理．

（2）三垂线定理本身的价值不大．一是定理叙述冗长，涉及斜线、射影等诸多概念；二是三垂线定理与三垂线定理的逆定理也让一些学生迷糊，运用时难免张冠李戴；三是三垂线定理并不是知识链上的重要一环（与线面垂直、平行的判定和性质定理比较），况且其证明十分简明，缺之无妨，对熟悉三垂线定理的教师来说可能不习惯，但对于学生来说，不会有什么影响．

要说明的是，在选修2-1“空间向量与立体几何”中，教材将三垂线定理作为例题，并运用向量方法作了证明．因此，学生是可以运用三垂线定理来解题的，但这不是在必修2中要介绍三垂线定理的理由．

问：“空间几何体的表面积和体积”一节的教学要点是什么？

答：教材中关于柱、锥、台、球的表面积和体积公式的建立，只需直观理解，不要求学生推导也不需要记忆公式，学生能够利用公式做一些简单的计算就可以了．

这是因为表面积和体积的计算通常要涉及距离或角度的计算，而这类定量计算更适于用空间向量来处理，所以本节的教学要求不宜拔高，大量补充这方面的练习是没有必要的．

由于本节隐含了丰富的数学思想方法，因此，教学中要有意识地加强这方面的训练．例如，化归思想，将计算空间几何的表面积问题转化为平面图形面积的计算；类比思想，祖暅原理的运用及迁移．实际上，本节习题“探究·拓展”也是类比思想的运用，其中还隐含了微分的思想．教师如教学得法、指导有方，学生就会受益匪浅．

问：为什么先学解析几何，后学三角？

答：与以往教材不同，新教材（课标）按解析几何在前，三角在后的顺序编写，这样有两个好处：

一是突出用代数方法研究几何问题的过程，加强代数运算能力的培养．用代数方法讨论直线与直线、直线与圆和圆与圆之间的关系可以提高学生用代数方法处理数学问题的能力．

二是有利于诱导公式的教学．例如，角a与 p – a的终边关于直线y = x对称，因而角a 终边上一点(a, b)关于直线y = x的对称点(b, a)在 p – a的终边上，由此可得 p – a的诱导公式．这里“点(a, b)关于直线y = x的对称点为(b, a)”就可以用“解析几何初步”中的知识加以证明．

实际上，先学解析几何还有利于平面向量的教学（如向量的坐标运算）．

问：为什么先讲斜率再谈倾斜角？

答：先斜率后倾斜角，先直线方程后位置关系，其用意都是突出用代数方法研究几何问题的思想．在根据斜率判定两条直线平行或垂直时，摆脱了以往教材借助倾斜角并利用正切函数诱导公式进行研究的模式，利用初中相似三角形的基本知识，沟通“相似比”与“增量比”之间的联系，在温故知新的同时，加深了学生对斜率公式（增量比）的理解．

对于先学必修4再学必修2的学校来说（按教材的编写意图及逻辑顺序，我们提倡以1，2，3，4，5的顺序进行教学），回到传统方法来处理斜率与两条直线的位置关系未尝不可，但不应忽视课本通过相似比来研究增量比的方法．

问：为什么要学习空间直角坐标系？

答：考虑到文科学生不学“空间向量与立体几何”，因此在必修数学中适当介绍空间直角坐标系是必要的．

其次，空间直角坐标系的学习也为类比学习提供了一个平台，教学时可通过创设问题情景，采用类比的方法，研究如何刻画空间点的位置，探索空间两点间的距离公式，中点坐标公式，等等．

问：平面解析几何的教学中，应始终贯穿什么思想？

答：用代数的语言描述几何要素及其关系→几何问题转化为代数问题→处理代数问题→分析代数结果的几何含义→解决几何问题，这种“用代数方法研究几何问题”的思想应贯穿平面解析几何教学的始终，并使学生不断地体会数形结合的思想方法．

参考文献

[ 1 ]  中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）．北京：人民教育出版社，2003．

[ 2 ]  中华人民共和国教育部．全日制普通高级中学数学教学大纲．北京：人民教育出版社，2002．