算术先知：彼得·舒尔茨

在他28岁的时候，彼得·舒尔茨(Peter Scholze)正在揭开数论与几何之间深刻联系的神秘面纱。

在2010年，一个令人震惊的传闻在数论界传开并传到了韦恩斯坦(Jared Weinstein)的耳中。传言，德国波恩大学的某个研究生发表了一篇论文，仅用了37页就重写了“Harris-Taylor”，这个高深莫测的定理本来用了228页的一本小书的篇幅来证明的。然而，这个22岁的研究生发现了一种法涉及到数论和几何之间的广泛联系方法，回避了证明中最复杂部分。

 

 

“一个这么年轻的人做出了如此革命性的成果，这实在是太惊艳了，” 波士顿大学34岁的数论学家韦恩斯坦如是说。“这实在是让人敬佩。”

 

 

波恩大学的数学家们早已意识到他超凡的数学思维，他们也在仅仅两年后就任命舒尔茨为正式的教授。在他发表了这篇关于Harris-Taylor的论文后，整个数论和几何领域的专家们也开始注意到了舒尔茨.

 

 

 

在舒尔茨28岁的是，他开始在更广阔的数学界崭露头角。他获得的诸多奖项的颁奖词中称他“已经是当世最具有影响力的数学家之一”，并且是“一个几十年一遇的罕见天才”。他还被认为是数学界最高荣誉菲尔兹奖的大热门。

 

 

一类被他称之为“状似完备空间(perfectoid space)”的“分形”结构，作为舒尔茨的关键革新虽然问世才几年，但是它已经在算术几何，一个数论和几何的交叉领域，产生了深远的影响。Weinstein认为，舒尔茨的工作具有一种预判的功能，“他甚至能在工作还没开始之前，就能看清它的后续步骤是什么”。

 

 

许多数学工作者对于舒尔茨的反应是“一种威望、恐怖和激动的结合体”，和舒尔茨共同撰写了多篇论文的密歇根大学的数学家巴特(Bhargav Bhatt)这样评价。

 

 

这种反应的产生并不是因为他的个性，恰恰相反他的同事们一致描述他是平易近人的。舒尔茨在波恩大学的同事赫尔曼(Eugen Hellmann)说：“他从来不会让你觉得他是如何高高在上的。”

 

 

实际上，这是因为他那令人难以置信的深入研究数学现象本质的能力。不同于多数数学家，他通常不是从一个想解决的特定问题入手，而是从他自己想要明白的一些难以理解的概念开始。但那之后，他所创造的那些结构“在成千上万个其他方向上都有从未被预见到的应用，只是因为它们正是应该去考虑的正确对象”，与舒尔茨合作过的普林斯顿大学数论学家卡拉亚尼(Ana Caraiani)这样说。

学习算术

 

 

在他14岁的时候，舒尔茨开始自学大学数学，当时他就读于海因里希·赫兹中学，这是柏林的一所专精于数学和科学的精英高中。舒尔茨说，在这所高中，“只要你对数学感兴趣，你就不会无法融入其中”。

 

 

在16岁时舒尔茨了解到在十年前怀尔斯(Andrew Wiles)证明了最著名的17世纪数学难题，也就是费马大定理。这个定理说明，如果n大于2,那么方程x^n+y^n = z^n不存在全部非零的正整数解。舒尔茨如饥似渴地想要学习它的证明，但他迅速发现尽管问题描述起来很简单，解决它需要用到一些最前沿的数学。他说：“我当时什么都不懂，但它实在是令我着迷。”

 

 

因此舒尔茨退而寻求他需要学习什么才能理解费马大定理的证明。“直到现在，这仍然很大程度上是我学习的方式，”他说，“实际上我从未真正学习过线性代数之类的基础知识，我只是在学习其他东西的时候将它搞懂了。”

 

 

当舒尔茨钻研这个证明时，他被证明涉及的数学对象所吸引：被称为模形式和椭圆曲线的结构， 这些结构神奇地统一了数论、代数、几何和分析这些不同的领域。他表示阅读涉及的这些对象的理论比问题本身更加有趣。

 

 

 

舒尔茨的数学品味逐渐成型。如今，他仍然被那些求解简单方程整数解的问题所吸引。这些具体的整数解让更加深奥的数学结构在他面前都变得具体。“说到底，我对算术感兴趣。”他说如果发现当他抽象的构造能带来关于整数的一些小发现时，他会感到无法言语的开心。

 

 

在高中之后，舒尔茨在波恩大学继续追求着他对数论和几何的这种兴趣。他的同学赫尔曼回忆到，舒尔茨在他的数学课上从来不记笔记。舒尔茨可以迅速理解课程的材料，“不仅仅是表层的理解，而且是某种意义上很深度的真正理解，这样他也不会遗忘。”

 

 

舒尔茨开始了在算术几何领域的科研生涯，这个领域使用几何工具来研究多项式方程的整数解,例如xy²+3y=5这种方程的整数解。对于这种类型的一些方程，研究它们在被称为p进数(p-adic number)的数域中的解有着丰硕成果。p进数和实数一样是通过填补整数和有理数之间的间隙构造的（通常称其为完备化），但是关于“这些间隙之中什么样的数是彼此接近”的的概念和通常理解不同：在p进数当中，两个数的差是小的并不能说明它们是接近的，实际上只有它们之间的差可以被p整除足够多次，它们才被认为是接近的。

 

 

这是一个奇怪的判断依据，但它是有用的。以3进数为例，它提供了一种自然的方式去研究形如x²=3y²的方程，因为在其中有着3这样一个关键的因子。

 

 

舒尔茨说，p进数“和我们的通常感觉差别很大”。但是这些年来它们对他来说变得很自然。“如今我认为实数比p进数要难以捉摸得多。我和p进数相处得太久了，以至于现在实数对于我来说显得非常陌生。”

 

 

数学家们在1970年代注意到，如果通过构造一个以p进数为底且每一层环绕下面一层p次的无穷的数系的塔来扩张p进数，许多关于p进数的问题会变得更加容易。在这个无穷的塔的“顶部”的数域是一个“分形”的对象，这也是舒尔茨之后发展的状似完备空间理论的最简单的例子。

 

 

舒尔茨给他自己布置了这样一个任务：理清为什么这种无穷环绕的构造能使如此多的有关p进数和多项式的问题变得简单。“我尝试理解这种现象的内核，”他说，“但是并没有能解释它的一般性理论。”

 

 

他最终意识到，给很多种数学结构构造出状似完备空间是可行的。他证明了这些状似完备空间能够将关于多项式的问题从p进数的世界转移到一个不同的数学世界，在其中算术变得更加简单（例如，在做加法时不需要进位）。“状似完备空间最怪异的性质是它们可以在两个数域间魔术般地移动。”韦恩斯坦说。

 

 

这一想法促使舒尔茨部分证明了一个被称为权重单值性猜想（weight-monodromy conjecture）的复杂问题。2012年，他的博士论文就是这个问题。韦恩斯坦称，这篇论文“影响深远，全世界相关专家都会去研究它”。

 

 

舒尔茨“准确找到了正确且最简洁的方法来整合前人的全部工作，对这些工作他给出了一个优雅的刻画。随后，就因为他发现的是真真切切的正确框架，他又做出远超已知结论的成果。” 赫尔曼说。

 

 

俯瞰丛林

 

尽管状似完备空间的理论极其复杂，但舒尔茨的讲座和论文以清晰而闻名。韦恩斯坦称：“在舒尔茨向我解释前，我什么也不理解。”

 

 

卡拉亚尼说，每当舒尔茨阐述他的想法，总是想方设法降低难度，试图让那些研究生新生水平人能够理解。“在他的想法中有一种开放和包容的感觉，”她说，“并且他不仅仅和部分资深专家交流想法，实际上一大批的年轻人都有机会与其接触。” 卡拉亚尼认为舒尔茨友好且平易近人的举止使得他成为该领域的理想领袖。她提到有一次当她和舒尔茨在与一群数学家进行艰难的“远足”时，他是那个四处奔跑来确保每个人都能跟上的人。

 

 

尽管有了舒尔茨的解释，状似完备空间对于其他学者而言仍然是难以驾驭的，赫尔曼说：“如果你离他描绘的道路偏离了一点，那你就会发现自己处于如同丛林中央一般的困境。”但他认为舒尔茨本人“永远不会在丛林中迷失，因为他从未打算在丛林里纠缠。他总是在为了某种清晰明了的概念而寻找俯瞰整个丛林的视角。”

 

 

 

舒尔茨通过强迫自己飞过丛林里的藤蔓来避免被它们所困：就像他大学时一样，他喜欢不写下任何东西来工作。那样他就必须用最清晰的方法来阐明他的想法，他说：“你的大脑只有有限的能力，因此不能在其中做太过复杂的事。”

 

 

当其他数学家正开始尝试理解状似完备空间时，舒尔茨和他的合作者已经毫不意外的利用它做出最深刻的发现了。在2013年，他在网上贴出的一个结果“着实让学界震惊”，韦恩斯坦说，“我们都没有意识到这样一个定理即将诞生。”

 

 

舒尔茨的结果扩大了互反律的适用范围。互反律用“时钟的算术”（这个时钟不一定是12小时制的）来处理多项式的性质。“时钟的算术”（例如对于有12个小时的时钟，5+8=1）是数学中最自然且被广泛研究的有限数系。

 

 

互反律是有着200年历史的二次互反律的推广，而二次互反律是数论的奠基石，也是舒尔茨本人最喜欢的定理之一。这条定律陈述了给定两个素数p和q，在大多数情况下，p在有q个小时的时钟上是一个完全平方数当且仅当q是在有p个小时的时钟上的完全平方数。例如，因为5 = 16 = 4²，5在有11小时的时钟上是平方数，而由于11 = 1 = 1²，11在有5小时的时钟上也是平方数。

 

 

“我认为这令人震惊，”舒尔茨说，“从表面看来这两者似乎毫无关联。”

 

 

“你可以把很多的现代代数数论解释为是对推广这一定律的尝试。”韦恩斯坦说。

 

 

20世纪中叶，数学家们发现了互反律和似乎完全不同的主题之间的惊人联系：研究诸如 埃舍尔(M.C.Escher)著名的“天使与恶魔”的“双曲”几何。这一联系是“朗兰兹纲领”的核心部分，这一纲领是一些揭示数论、几何与分析之间关系的定理与猜想的合集。如果这些猜想能够被证明，我们通常能得到具有强大威力的工具。比如费马大定理的证明能够被归结于解决朗兰兹纲领的一个小部分（看出这个联系也很难）。

 

 

数学家们逐渐意识到朗兰兹纲领已经远远超出了双曲圆盘：它也可以在高维的双曲空间和其他情况下的簇中被研究。如今舒尔茨展示了如何把朗兰兹纲领延伸到“双曲三维空间”（一种双曲圆盘的三维类比）中的很多结构。通过构造一个状似完备空间版本的双曲三维空间，舒尔茨发现了一系列全新的互反律。

 

 

“舒尔茨的工作完全地改变了我们对能做到的和可能做到的事的看法。”卡拉亚尼说。

 

 

韦恩斯坦称舒尔茨的成果表明朗兰兹纲领“比我们所想象的还要深刻…它更加系统化，它无所不包”。

极速前进

 

 

和舒尔茨讨论数学就如同寻求一条“先知的预言”，韦恩斯坦认为。“如果他说：“是，这可以。”那么你可以对它抱有信心；反之你则应该立刻放弃；如果他说他不知道——他确实也有不知道的时候——那么你很幸运，因为你手中有了一个有趣的问题。”

 

 

卡拉尼亚说，与舒尔茨的合作并不是像预想中一样压抑的经历。当她与舒尔茨合作时，从来没有一丝紧迫感，她说：“感觉就像我们总是走在正确的路上——用最好的方法证明了我们能得到的最一般性的定理，总是正确地做出了关键的构造。”

 

 

不过曾有一次，舒尔茨本人确实很又紧迫感——在2013年年底，他需要在他女儿的出生前的短暂时间，去把一篇论文写完。他说，推动给自己工作是件好事，“在之后，我就没什么事情需要完成了。”

 

 

舒尔茨说，成为一个父亲迫使他在时间管理上更加严格。但是他无需担心科研受到影响——数学填补了他其他家务事之间的空隙。“我想数学是我的激情所在，”他说，“我无时无刻都在思考数学问题”。

 

 

但他一点也不倾向于把这种激情浪漫化。当被问起是否有感觉自己注定要成为一个数学家时，他表示反对。“那听起来太哲学了”，他说。

 

 

从私人角度来说，他日渐增长的名气（例如，三月时他成为德国著名的莱布尼兹奖的最年轻得主，该奖项授予250万欧元的研究经费）让他有些许不适。“有时这有些让我不知所措，”舒尔茨说：“我试图让我的日常生活不被它影响。”

 

 

舒尔茨继续探索状似完备空间，但他也涉足其他有关代数拓扑的数学领域，该领域运用代数来研究几何。“在过去的一年半中，舒尔茨已经完全成为了这一学科的大师，”巴特称，“他改变了这一领域的思考方式。”

 

 

巴特认为，对于其他数学家们而言，舒尔茨进入他们的领域既是可怕的也是令人激动的。“这代表着该学科正在快速发展。我很欣喜他正在和我的工作紧密相关的领域工作，因此我确实看到了这些前沿知识在不断向前推进。”

 

 

但是对舒尔茨而言，他到目前为止的工作只是热身。“我仍然处于试图了解“那里有什么”的阶段，有一天也许我会用自己的语言来重新描述它们。”他说，“我觉得我并没有真正地开始研究这一领域。”