今天为大家展现一些有趣的视觉现象及其背后的数学问题：

一、直与弯

 

咦？一根直杆为什么能从弯曲的洞中穿过？

想想这其实不奇怪。这根杆是斜着的，杆中间的点离旋转轴最近，因此对应的洞上的点离旋转轴也最近；杆的两边离旋转轴较远，因此对应的洞上的点离旋转轴也远。所以，这个洞不会是直线，只会是一条曲线。
那这是什么曲线？感兴趣的读者可以自己动手算一算。答案是双曲线。
把这个曲线绕旋转轴旋转一周，形成一个曲面，叫做单叶双曲面。看看下图你就会发现，这根杆所在直线是这个曲面的一部分：

 

 

对于一个曲面，如果经过曲面上的每一点都有一根直线在曲面上，我们就称之为直纹曲面。圆柱面、圆锥面都是直纹曲面的例子，单叶双曲面也是如此，只不过它上面的直线看起来不是那么显而易见。单叶双曲面还有一个神奇的地方：通过它上面的每一个点，都有两条直线在曲面上。
这样的特点使得单叶双曲面在建筑当中也有特殊的应用，比如说俗称“小蛮腰“的广州新电视塔。

 

二、圆锥曲线
图片来源：mathgifs
大家都知道，椭圆、抛物线、双曲线这些曲线称为“圆锥曲线”。但这个词是怎么来的呢？
既然叫圆锥曲线，当然与圆锥有关。首先，我们来想象一个圆锥——确切地说，是一个圆锥面。它是一条直线绕与它相交（但不垂直）的另一条直线旋转一周所形成的曲面。我们平常所见的圆锥体的侧面，只是圆锥面的一部分。
然后，我们用一个平面去截它。平面与圆锥面相交之处，是一条曲线。由于整条曲线都在这个平面上，我们可以把它看作一个平面曲线。这便是圆锥曲线。平面与圆锥的旋转轴所成的角度不同，曲线就会变成不同的形状：圆、椭圆、抛物线、双曲线（其中圆可以看作是一种特殊的椭圆）。
对圆锥曲线的研究是从古希腊开始的。那时还没有解析几何，数学家研究圆锥曲线的时候，采用的就是上面的定义。古希腊数学家阿波罗尼奥斯就是从这样的定义出发，写下了八卷《圆锥曲线论》。
图中还展示了一些圆锥曲线的退化情形：在平面经过圆锥的顶点的时候，圆锥曲线会变成两条相交的直线，两条重合的直线，或者一个点。
三、圆面积公式
图片来源：matthen
圆面积公式S =πr2大家都学过，你还记得课本中如何讲解这个公式的推导吗？在我当年学习的人教版的教材中，是把圆剪成了一个个小扇形，然后把它们近似地拼成一个长为πr，宽为r的矩形。扇形裁得越小，拼出来的东西也就越接近矩形，然后用矩形的面积公式就可以计算了。
而这里用了另一种办法：把圆拆成一个个同心的细圆环。然后，把这些圆环展开，变成高为r，底边长为2πr的的三角形。当然，这谈不上是严谨的证明，但其中已经蕴含了一些微积分的思想。我们甚至可以利用类似于古希腊穷竭法的办法，把它写成一个相对严谨的证明。
四、无限雪花
图片来源：functor.co
“分形”这个词大家可能已经见过很多次了。它的特点是自相似。比如说，上图中的科赫曲线，它的局部放大之后和整体长得一模一样。
那这样的曲线是怎样画出来的呢？
我们先画一条线段，然后把它三等分，将中间的那一段换成两段同样长的线段。这样，我们就有了四条线段。对这四条线段也重复这一过程。每重复一次，称为一次迭代。无限地迭代下去之后，我们就得到了科赫曲线。当然，实际画图的时候，不可能真的无限迭代下去，常常只需要迭代有限多次，直到看不出区别了为止。
Matrix67在他的博客中也展示过科赫曲线的绘制过程（有兴趣者可复制链接http://www.matrix67.com/blog/archives/6231至浏览器查看）：
在这里还可以看到一个三维的分形动图，3D眩晕者请快速跳过。
五、朱利亚集
这是另外一种分形——朱利亚集（Julia set）。什么是朱利亚集？我们首先固定一个常数C，对复平面上的一个点，不断地重复进行变换z→z2+C。这样得到的一些点会越跑越远，一直趋向于无穷；而另一些点则一直呆在原点附近，不会跑出一个有限范围。第二类的点所构成的集合，就是朱利亚集。当常数C取值不同时，画出来的朱利亚集也会不同。上面的动图就展示了在C变化时朱利亚集的变化。由这种方式生成的分形图案被称为“逃逸时间分形”。
但是，严格来说，上面所说的只是“填充”的朱利亚集（filled-in Julia set）。真正的朱利亚集是它的边界，也就是上图中的白色线条部分。前面所讲的变换，只是一个二次多项式。对于“填充”的朱利亚集，这个概念可以推广到一般的多项式。对于真正的朱利亚集，还可以推广到分式。
而真正的朱利亚集又有另外一种画法：

 

先选取一些点，然后对它们不断地进行该变换的“逆变换”——准确的说法是取它们在这个变换下的原像，而一个点的原像往往不止一个。对变换z→z2+C来说，它的原像就是先减去常数C——在图上看来就是平移；然后开平方根——一个数的平方根有两个，在图上看来是先扭一扭，再复制一个到下半平面。每一步都一个变两个，因此出来的点会越来越多。这些点的极限便是朱利亚集。
六、布朗树
这又是另外一种类型的分形——布朗树，生成这种分形的过程，则叫做扩散限制聚集（Diffusion-limited aggregation，简称DLA）。
这过程说起来也很简单：我们有很多粒子和一枚“种子”，粒子在空间中随机游走，但只要碰到种子就会在聚集它上面。种子上聚集的粒子越来越多，就会长成一棵有着错综复杂的结构的“大树”。
科赫曲线和朱利亚集都很漂亮，但在日常生活中不太容易看到。布朗树就不一样了，我们可以在很多地方看到自然形成的布朗树构造，比如说，在皮蛋上：